Encuentro investigadores REAG 2013

Cartel evento: Encuentro de Investigadores de la REAG

IE-Math Granada, 10-11 de octubre de 2013

El encuentro de investigadores de la REAG es una de las actividades programadas de la Red Española de Análisis Geométrico, que pretende favorecer el intercambio de ideas y fomentar la cooperación de investigadores de la Red, entre sí y con grupos afines cuya investigación se desarrolla en el campo del Análisis Geométrico.

Participantes

  • Antonio Alarcón (Universidad de Granada)
  • Luis Alías (Universidad de Murcia)
  • Esther Cabezas-Rivas (Goethe Universität Frankfurt)
  • Alberto Enciso (ICMAT)
  • José Antonio Gálvez (Universidad de Granada)
  • Luis Guijarro (Universidad Autónoma de Madrid)
  • M. Ángeles Hernández-Cifre (Universidad de Murcia)
  • Ana Hurtado (Universidad de Granada)
  • Vicente Miquel (Universidad de Valencia)
  • Daniel Peralta-Salas (ICMAT)
  • Joan Porti (Universitat Autònoma de Barcelona)
  • Antonio Ros (Universidad de Granada)

Organización

  • Vicente Palmer (Universitat Jaume I)
  • Manuel Ritoré (Universidad de Granada)

Programa

Jueves Viernes
Mañana
9:30-10:15 E. Cabezas-Rivas
10:20-11:05 J. A. Gálvez D. Peralta-Salas
11:10-11:40 Pausa
11:40-12:25 A. Enciso Mª Hernández-Cifre
12:30-13:15 L. Guijarro J. Porti
13:20-15:30 Pausa comida
Tarde
15:30-16:15 V. Miquel A. Ros
16:20-16:45 Pausa
16:50-17:35 A. Alarcón

Conferencias

Antonio Alarcón, Un problema de Riemann-Hilbert para curvas nulas holomorfas

Construiremos soluciones aproximadas para ciertos problemas de tipo Riemann-Hilbert para curvas nulas holomorfas en $\mathbb{C}^3$. Como aplicación, probaremos que toda superficie de Riemann bordeada embebe propiamente en una bola de $\mathbb{C}^3$ como curva nula holomorfa completa; en particular, es la estructura de conforme de una superficie mínima en $\mathbb{R}^3$ completa y acotada. Construiremos además curvas nulas propiamente embebidas en $\mathbb{C}^3$ con una coordenada acotada, y derivaremos la existencia de curvas nulas propiamente embebidas en $SL_2(\mathbb{C})$  y de superficies de Bryant propiamente inmersas en $\mathbb{H}^3$ conformemente equivalentes a cualquier superficie de Riemann bordeada dada. Trabajo conjunto con Franc Forstneric.

Luis Alías, Aplicaciones del principio del máximo de Omori-Yau al estudio de la geometría global de las hipersuperficies

Siguiendo la terminología introducida por Pigola, Rigoli y Setti (2005), se dice que el principio del máximo de Omori-Yau se verifica en una variedad riemanniana $M$ si, para cualquier función diferenciable $u\in\mathcal{C}^2(M)$ con $u^*:=\sup_M u<+\infty$, existe una sucesión de puntos  $\{p_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ de $M$ con las siguientes propiedades: \[ \mathrm{(i)} \,\,\,\, u(p_k)>u^*-\frac{1}{k}, \quad \mathrm{(ii)} \,\,\,\,  \|\nabla u(p_k)\|<\frac{1}{k}, \quad \mathrm{and} \,\,\mathrm{(iii)} \,\,\,\, \Delta u(p_k)<\frac{1}{k}. \]En este sentido, el resultado clásico dado por Omori (1967) y Yau (1975) establece que el principio del máximo de Omori-Yau se verifica en cualquier variedad riemanniana completa con curvatura de Ricci acotada inferiormente. Una forma débil del principio del máximo de Omori-Yau se obtiene eliminando la condición (ii) anterior de las propiedades de la sucesión $\{p_k\}_{k\in\mathbb{N}}$. Así, se dice que la variedad $M$ verifica el principio del máximo débil  de Omori-Yau si, para cualquier función diferenciable $u\in\mathcal{C}^2(M)$ con $u^*<+\infty$, existe una sucesión de puntos  $\{p_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ de $M$ cumpliendo las propiedades (i) y (iii) anteriores. Esta definición aparentemente simple es de hecho profunda y resulta ser equivalente a la completitud estocástica de la variedad. Este último concepto no requiere de la completitud geodésica de la variedad y existen criterios sencillos, como el test de Khas’minski, que la garantizan. En particular, el principio del máximo débil de Omori-Yau se verifica en toda variedad parábolica.

El objetivo de esta conferencia es introducir el principio del máximo de Omori-Yau y mostrar su utilidad en el contexto del estudio de la geometría global de hipersuperficies. Los resultados que presentaremos han sido obtenidos conjuntamente con S.C. García Martínez y M. Rigoli y se pueden encontrar en las referencias [AGM1], [AGM2], [AGMR] y [GM].

[AGM1] Luis J. Alías y S. Carolina García-Martínez, On the scalar curvature of constant mean curvature hypersurfaces in space forms, J. Math. Anal. Appl. 363 (2010), 579-587.

[AGM2] Luis J. Alías y S. Carolina García-Martínez, An estimate for the scalar curvature of constant mean curvature hypersurfaces in space forms, Geom. Dedicata 156 (2012), 31-47.

[AGMR] Luis J. Alías, S. Carolina García-Martínez y Marco Rigoli, A maximum principle for hypersurfaces with constant scalar curvature and applications, Ann. Glob. Anal. Geom. 41 (2012), 307-320.

[GM] S. Carolina García-Martínez, Aplicaciones del principio del máximo generalizado de Omori-Yau al estudio de la geometría global de hipersuperficies en espacios de curvatura constante. Tesis Doctoral, Universidad de Murcia, 2012.

Esther Cabezas-Rivas, Una generalización del teorema de Gromov sobre variedades casi llanas

Las variedades casi llanas son soluciones de perturbaciones de tamaño controlado de la ecuación $\text{Sec} = 0$ ($\text{Sec}$ es la curvatura seccional). En un famoso e influyente teorema, Gromov demostró que la presencia de una métrica casi llana implica una descripción topológica precisa de la variedad subyacente. Durante la charla, se presentará una generalización de dicho teorema obtenida relajando las hipótesis sobre la curvatura. Se trata de un trabajo conjunto con B. Wilking.

Alberto Enciso, Subvariedades que pueden ser conjuntos de nivel de una función armónica

The study of the structure of the level sets of a harmonic function in the plane up to a homeomorphism is a classical problem that goes back to Morse, Kaplan and Boothby in the first half of the last century. In higher dimensions, there is a striking lack of significant results in this direction, the reasons of which are both analytical (as harmonic functions are no longer related to holomorphic functions of one complex variable) and topological (since the possible topologies of level sets should become increasingly complex). Our motivation is to solve very visual questions such as whether there are harmonic functions in $\mathbb{R}^3$ having level sets of arbitrarily high genus or whether one can take (for example) seven harmonic functions in $\mathbb{R}^{14}$ whose zero level sets intersect transversally at a Milnor 7-sphere. In this talk I will review some recent results in this direction, obtained in collaboration with D. Peralta-Salas, which, in particular, answer these questions in the affirmative. Generalizations to other elliptic equations and applications will be discussed as well.

José Antonio Gálvez, Superficies completas cuya curvatura no cambia de signo

Presentaremos algunas propiedades globales de superficies completas en los espacio modelo tridimensionales $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{H}^3$ y $\mathbb{S}^3$, cuya curvatura de Gauss no cambia de signo. En particular, centraremos nuestra atención en el teorema de N.V. Efimov (1964): “no existen superficies completas en $\mathbb{R}^3$ con curvatura menor o igual que una constante $c<0$", y la conjetura de J. Milnor (1966): "una superficie completa en $\mathbb{R}^3$ sin puntos umbilicales tal que la suma de los cuadrados de las curvaturas principales está lejos de 0 debe cumplir que su función curvatura cambia de signo o la superficie es llana". Probaremos para el caso de curvatura no negativa que la conjetura anterior es cierta y como consecuencia también mostraremos una respuesta parcial a la conjetura para curvatura no positiva. Veremos algunos corolarios de estos resultados en $\mathbb{R}^3$ y una aproximación a un teorema tipo Efimov en $\mathbb{H}^3$ y $\mathbb{S}^3$.

Luis Guijarro, Espacios de Alexandrov de dimensión 3

Los espacios de Alexandrov son una generalización de las variedades riemannianas que aparecen de forma natural al considerar la clausura de éstas bajo la distancia de Gromov-Hausdorff. Por esta razón se han convertido en una herramienta imprescindible para entender las consecuencias geométricas de la curvatura. En esta charla daremos una pequeña introducción a sus propiedades, intentando enfatizar sus similitudes y diferencias con variedades. Posteriormente examinaremos el caso de dimensión 3: clasificaremos topológicamente aquellos con curvatura positiva y con curvatura no negativa, y terminaremos presentando ejemplos de cómo, en este contexto, la conjetura de Poincaré falla en 5 de las 8 geometrías de Thurston. Este es trabajo en colaboración con Fernando Galaz-García (Münster).

Mª Ángeles Hernández-Cifre, Sobre la desigualdad de Brunn-Minkowski

La famosa desigualdad de Brunn-Minkowski establece que
\[
\text{vol}\bigl((1-\lambda)K+\lambda L\bigr)^{1/n}\geq(1-\lambda)\text{vol}(K)^{1/n}+\lambda\text{vol}(L)^{1/n},
\]donde $K$ y $L$ son dos cuerpos convexos (conjuntos convexos y compactos) del espacio euclídeo y $\lambda\in[0,1]$; es decir, la raíz $n$-ésima del volumen es una función cóncava en $\lambda$. Si además se asume que $K$ y $L$ tienen una proyección común sobre un hiperplano, entonces el exponente puede suprimirse, esto es, el volumen propiamente dicho es una función cóncava.

En esta charla haremos un breve recorrido sobre la historia de esta desigualdad, y estudiaremos, entre otras cuestiones relacionadas, el problema de si es posible obtener ciertas ‘mejoras’ de la desigualdad de Brunn-Minkowski, en el sentido de ‘aumentar’ el exponente, cuando se asumen ciertas condiciones adicionales sobre los cuerpos $K$ y $L$.

Ana Hurtado, Estimaciones del primer valor propio de Dirichlet en función del espectro de momentos

Calcularemos el primer valor propio del espectro del laplaciano de las bolas geódesicas en los espacios rotacionalmente simétricos, en términos del espectro de momentos del tiempo de salida medio del movimiento Browniano en dichas bolas. Como aplicación encontraremos cotas superiores e inferiores del primer valor propio de bolas métricas extrínsecas en subvariedades de variedades ambiente riemannianas con curvatura media controlada. Esto nos permitirá obtener generalizaciones de resultados clásicos como los de McKean y Cheung-Leung sobre el tono fundamental de variedades de Cartan-Hadamard y de subvariedades con curvatura media acotada en espacios hiperbólicos.

Vicente Miquel, Tres observaciones en Análisis Geométrico

Primera observación: el primer valor propio de Dirichlet de un tubo alrededor de una subvariedad compleja de $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ está acotado por una función del radio y de los grados de los polinomios que definen el centro del tubo. (Trabajo conjunto con M.Carmen Domingo-Juan). Segunda: existen ejemplos de superficies “mean-convex” que, al evolucionar por el flujo por la curvatura media conservando el volumen dejan de ser “mean-convex”. (Trabajo conjunto con Esther Cabezas-Rivas). Tercera: se dan ejemplos de superficies lagrangianas de $\mathbb{C}^2$ que, por el flujo por la curvatura media, se contraen a un punto con la forma de un toro de Clifford. (Trabajo conjunto con Ildefonso Castro y Ana Lerma).

Daniel Peralta-Salas, Existencia de tubos de vorticidad anudados en soluciones estacionarias de la ecuación de Euler

In this talk I will review recent results, obtained in collaboration with A. Enciso, on the existence of knotted and linked thin vortex tubes for steady solutions to the incompressible Euler equation. More precisely, given a finite collection of (possibly linked and knotted) disjoint thin tubes, we will see that they can be transformed with a $C^m$-small diffeomorphism into a set of vortex tubes of a steady solution to the Euler equation that tends to zero at infinity. In particular, we will recover and improve our previous theorem on the existence of knotted and linked vortex lines (Ann. of Math. 175 (2012) 345-367). The proof combines fine energy estimates for a boundary value problem associated to the curl operator with KAM theory and a Runge-type global approximation theorem. The problem of the existence of knotted and linked thin vortex tubes can be traced back to Lord Kelvin, and in fact these structures have been recently realized experimentally by Irvine and Kleckner at Chicago (Nature Phys. 9 (2013) 253-258).

Joan Porti, Dinámica en el borde ideal de espacios simétricos de rango superior

Estudiamos la dinámica en el borde ideal (o infinito) de grupos discretos de isometrías de espacios simétricos de tipo no compacto. En particular buscamos dominios de discontinuidad utilizando la estructura de immueble de Tits. El comportamiento para rango uno se comprende bien, pero para rango dos o superior es muy diferente. Es un trabajo conjunto con Michael Kapovich y Benhard Leeb.

Antonio Ros, Un problema elíptico sobredeterminado

Discutiremos la geometría de los dominios $\Omega$ en el plano tales que, bajo diferentes hipótesis, admiten una solución del problema clásico sobreterminado $\Delta u + f(u) = 0$, $u>0$ en $\Omega$, $u=0$, $\partial u/\partial\nu = c$ en $\partial\Omega$.

Este es un trabajo conjunto con P. Sicbaldi.